Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，A（0，6），AB=4$\sqrt{3}$，且∠OBA=60°，將△OAB沿直線AB翻折，得到△CAB，點O與點C對應．
（1）填空：∠BAC=30度；
（2）過點B作x軸垂線，交AC于點E，依據題意補全圖形，并求出BE的長；
（3）在（2）的條件下，動點F從點O出發，以2個單位長度/秒的速度沿折線O--A--B向終點B運動，點F的運動時間為t秒，在點F的運動過程中，當t為何值時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？（答案可以保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據翻轉變換的性質解答；
（2）先根據題意補全圖形，根據直角三角形的性質求出BE；
（3）分B是等腰三角形△BEF的頂角頂點、E為等腰三角形△BEF的頂角頂點兩種情況，根據等腰三角形的性質、翻轉變換的性質計算即可．

解答 解：（1）∵∠OBA=60°，
∴∠OAB=30°，
由翻轉變換的性質可知，∠BAC=∠OAB=30°，
故答案為：30；
（2）補全圖形如圖1，
∵BE⊥x軸，
∴∠OBE=90°
∵∠OBA=60°，
∴∠EBA=30°，
∴∠EBA=∠BAC=30°，
∴AE=BE，
∵∠ABC=∠OBA=60°，
∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=30°，
又∵∠C=∠FOB=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE，
又∵AC=AE+EC=6，
∴AC=BE+$\frac{1}{2}$BE=6，
∴BE=4；
（3）①當B是等腰三角形△BEF的頂角頂點時，如圖2，
當BF=BE時，OF=CE=2，
∴t=2÷2=1，
當BF=BE=4時，如圖3，
∵AF=AB-BF=4$\sqrt{3}$-4，
∴t=$\frac{OA+OF}{2}$=$\frac{6+4\sqrt{3}-4}{2}$=1+2$\sqrt{3}$，
②當E為等腰三角形△BEF的頂角頂點時，如圖4，
∵∠ABE=30°，∠BAC=30°，
則當F運動到A點時，即AE=BE，
∴△BEF為等腰三角形，即t=6÷2=3，
當EF=BE時，由（2）得：AE=BE，
∴EF=AE=4，又∵∠OAE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴A F=AE=4
∴O F=AO-AF=2，
∴F與圖2中F重合，此時 t=1，
所以在點F的運動過程中，當t=1（秒）或t=3（秒）或t=（1+2$\sqrt{3}$）（秒）時，△BEF是以BE為腰的等腰三角形．

點評 本題考查的是等腰三角形的判定和性質、直角三角形的性質、翻轉變換的性質，掌握翻轉變換的性質、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．