Question

19．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出D點坐標及△BCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．
（3）直線l經過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸的左側部分上運動，直線m經過點B和點Q是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）設D（t，-t²+2t+3），過點D作DH⊥x軸，根據S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）設D（t，-t²+2t+3），過點D作DH⊥x軸，
，
則S_△BCD=S_梯形OCDH+S_△BDH-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-t²+2t+3+3）t+$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×
3=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當t=-$\frac{\frac{9}{2}}{2×（-\frac{3}{2}）}$=$\frac{3}{2}$時，D點坐標是（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），△BCD面積的最大值是$\frac{27}{8}$．

（3）①如圖，設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，

∵∠CNG=∠BNO，∠CGN=∠NOB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在△AOC和△NOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠OBN}\\{∠AOC=∠BON}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△NOB，
∴ON=AO=1，
∴N（0，1），
設直線BG的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線BG的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
②當點Q在x軸上方時，此時直線m與①中的直線m關于x軸對稱，
∴解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1；
綜上可知存在滿足條件的直線m，其解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1或y=-$\frac{1}{3}$x+1．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、二次函數的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質等．在（2）中構建二次函數是解題的關鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關鍵．