Question

3．在△ABC中，AD為高線，若AB+BD=CD，AC=4$\sqrt{5}$，BD=3，則線段BC的長度為5或11．

Answer 1

分析 分兩種情形①如圖1中，△ABC是銳角三角形時．②如圖2中，△ABC是鈍角三角形時，分別利用勾股定理，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖1中，設AB=x，則CD=AB+BD=3+x，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴x²-3²=（4$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
解得x=5或-8（舍棄），
∴BC=BD+CD=3+3+5=11．
如圖2中，設AB=x，則CD=AB+BD=3+x，

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD²=AB²-BD²=AC²-CD²，
∴x²-3²=（4$\sqrt{5}$）²-（x+3）²，
解得x=5或-8（舍棄），
∴BC=CD-BD=5，
故答案為5或11．

點評 本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意有兩種圖形，學會構建方程解決問題，屬于中考常考題型．