Question

1．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC（∠BAC是一個(gè)可以變化的角），AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．
小明是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合，他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BC，連接A'A，當(dāng)點(diǎn)A落在A'C上時(shí)，此題可解（如圖2）
（1）請(qǐng)你回答：AP的最大值是6．
參考小明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：
（2）如圖3，等腰 Rt△ABC，邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是多少？為什么？（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）
提示：要解決AP+BP+CP的最小值問(wèn)題，可仿照題目給出的作法，把△ABP繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A'BP'．
（3）如圖4，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，則S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得A′C，進(jìn)而得到AP的最大值；
（2）以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'B．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，P'A′+P'B+PC最短，即線段A'C最短，然后通過(guò)作輔助線構(gòu)造Rt△A′DC，在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理求線段A′C的長(zhǎng)度；
（3）運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O'點(diǎn)，根據(jù)S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO}'=S_△COO'+S_△AOO'進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）如圖2，∵△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C，
∴△A′BA是等邊三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC=6，即AP＜6，
當(dāng)點(diǎn)A′、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C=AA′+AC，即AP=6，
∴AP的最大值是：6，
故答案是：6．

（2）AP+BP+CP的最小值是2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．
理由：如圖3，∵Rt△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，
以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'B，則
A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．
∵當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，P'A+P'B+PC最短，即線段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，
∴A'C長(zhǎng)度即為所求．
過(guò)A'作A'D⊥CB延長(zhǎng)線于D．
∵由旋轉(zhuǎn)可知，∠A'BA=60°，
∴∠1=30°．
∵A'B=4，
∴A'D=2，BD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=4+2$\sqrt{3}$．
在Rt△A'DC中，A'C=$\sqrt{A′{D}^{2}+D{C}^{2}}$
=$\sqrt{{2}^{2}+（4+2\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$
=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+2×2\sqrt{2}×2\sqrt{6}+（2\sqrt{6}）^{2}}$
=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$，
∴AP+BP+CP的最小值是：2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$（或$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$）．

（3）如圖4，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至帶你O'，連接OO'，則
△AOO'是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO'是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，
∴S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO}'=S_△COO'+S_△AOO'=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}\sqrt{3}$=6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．
故答案為：6+$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形作圖，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．