Question

12．已知關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)拋物線y=kx²+（2k+1）x+2（k為正整數(shù)）圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求此拋物線的解析式；
（3）已知拋物線y=kx²+（2k+1）x+2恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當(dāng)該方程為一元二次方程時(shí)，根的判別式△≥0，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）通過解kx²+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x²+3x+2，結(jié)合圖象回答問題．
（3）根據(jù)題意得到kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 （1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，方程為x+2=0，所以x=-2，方程有實(shí)數(shù)根，
②當(dāng)k≠0時(shí)，∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：令y=0，則kx²+（2k+1）x+2=0，
解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=-$\frac{1}{2}$，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，
∴k=1．
∴該拋物線解析式為y=x²+3x+2；
（3）依題意得kx²+（2k+1）x+2-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+2=0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以該拋物線恒過定點(diǎn)（0，2）、（-2，0）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答（1）題時(shí)要注意分類討論．