Question

20．在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．
（1）如圖，點D在線段BC上，若∠BAC=90°，則∠BCE等于90度；
（2）設∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖，若點D在線段BC上移動，則α與β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；
②若點D在直線BC上移動，則α與β之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

分析 （1）可以證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，證明∠ACB=45°，即可解決問題．
（2）證明△BAD≌△CAE，得到∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，即可解決問題．
（3）證明△BAD≌△CAE，得到∠ABD=∠ACE，借助三角形外角性質即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD與△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案為90．
（2）如圖2，α+β=180°；理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△BAD與△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，β=∠ABC+∠ACB，
∴α+β=180°．
（3）α=β．理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC；在△BAD與△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE；而∠ABD=∠ACB+α，β=∠ACE-∠ACB，
∴β=∠ACB+α-∠ACB，
∴α=β．

點評 該題主要考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定及其性質等幾何知識點及其應用問題；應牢固掌握等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定及其性質等幾何知識點．