Question

2．如圖，已知等邊△ABC．
（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC的外接圓；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求△ABC的外接圓半徑R．

Answer 1

分析 （1）分別作出AC和BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)就是圓心O的位置，再以CO長(zhǎng)為半徑畫圓即可；
（2）當(dāng)△ABC是正三角形時(shí)，BC的垂直平分線過A點(diǎn)，首先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)計(jì)算出∠OCF=30°，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出CO的長(zhǎng)度即可．

解答 解：（1）如圖所示：⊙O即為所求；


（2）當(dāng)△ABC是正三角形時(shí)，BC的垂直平分線過A點(diǎn)，
連接AO，CO，
∵△ABC是正三角形，AF⊥BC，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，CF=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵AO=CO，
∴∠ACO=30°，
∴∠OCF=60°-30°=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC，
設(shè)OC=2x，則OF=x，
x²+（2$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=2或x=-2（舍），
∴R=2OF=4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形外接圓以及利用勾股定理，基本作圖，關(guān)鍵是掌握如何確定三角形外接圓的圓心：其中兩條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．