Question

7．如圖，二次函數(shù)y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），過點(diǎn)A的直線AD∥BC，交拋物線于另一點(diǎn)D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線AD的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在；求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax²+2x+c即可得到結(jié)果；
（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，則-x²+2x+3=0，得到B（3，0），由已知條件得直線BC的解析式為y=-x+3，由于AD∥BC，設(shè)直線AD的解析式為y=-x+b，即可得到結(jié)論；解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得D（4，-5）；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，只要當(dāng)$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PB}{AD}$時(shí)，△PBC∽△ABD，求出AD=5$\sqrt{2}$，AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，代入比例式解得BP的長度，即可得到P（$\frac{3}{5}$，0）或P（-$\frac{9}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵次函數(shù)y=ax²+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-2+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+2x+3；

（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
由已知條件得直線BC的解析式為y=-x+3，
∵AD∥BC，
∴設(shè)直線AD的解析式為y=-x+b，
∴0=1+b，
∴b=-1，
∴直線AD的解析式為y=-x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴D（4，-5）；

（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
又∵D（4，-5），
∴∠ABD≠45°，點(diǎn)P在點(diǎn)B得到左側(cè)，
∴只可能△ABD∽△BPC或△ABD∽△BCP，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PB}{AD}$，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（4，-5），
∵AD=5$\sqrt{2}$，AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，
即 $\frac{BP}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$或$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{BP}{5\sqrt{2}}$，
解得BP=$\frac{12}{5}$或BP=$\frac{15}{2}$，
∵3-$\frac{12}{5}$=$\frac{3}{5}$，3-$\frac{15}{2}$=-$\frac{9}{2}$，
∴P（$\frac{3}{5}$，0）或P（-$\frac{9}{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法，銳角三角函數(shù)，最值的求法，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答（3）題時(shí)，要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．