Question

8．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，點E為腰AC中點，點F在底邊BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面積是$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 過C作CD⊥CE與EF的延長線交于D，構成直角三角形可證出Rt△ABE∽Rt△CED，然后證出其面積．

解答 解：如圖，過C作CD⊥CE與EF的延長線交于D．
因為∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，
所以$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△EAB}}$=（$\frac{CE}{AB}$）2=$\frac{1}{4}$．
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分線，點F到CE和CD的距離相等，
所以$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{CE}{CD}$=2．
所以S_△CEF=$\frac{2}{3}$S_△CDE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$S_△ABE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{24}$．
故答案是：$\frac{1}{24}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線，然后構成直角三角形，用相似三角形的性質求面積．