Question

12．如圖，在△ABC中，AB=20，BC=12，D是AC上一點，過點D作DE∥BC交AB于E，作DF∥AB交BC于F，設四邊形BEDF為菱形．
（1）求菱形的邊長；
（2）求菱形BEDF的面積與△ABC的面積之比．

Answer 1

分析 （1）設菱形的邊長為x，則AE=20-x，CF=12-x，根據相似三角形的性質得到x=$\frac{15}{2}$，于是得到結論；
（2）根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）設菱形的邊長為x，則AE=20-x，CF=12-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{20-x}{20}=\frac{x}{12}$，
∴x=$\frac{15}{2}$，
∴菱形的邊長是$\frac{15}{2}$；
（2）∵$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{DE}{BC}）^{2}=\frac{25}{64}$，$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△CBA}}$=（$\frac{DF}{AB}$）²=$\frac{9}{64}$，
∴菱形BEDF的面積與△ABC的面積之比=1-$\frac{25}{64}$-$\frac{9}{64}$=$\frac{15}{32}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．