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13.已知:如圖,∠B=∠C=90°,M是BC的中點,且DM平分∠ADC.
(1)求證:AM平分∠DAB.
(2)試說明線段DM與AM有怎樣的位置關系?并證明你的結論.

分析 (1)過M作ME⊥AD于E,根據角平分線性質求出ME=MC=MB,再根據角平分線性質求出即可;
(2)根據平行線性質求出∠BAD+∠DC=180°,求出∠MAD+∠MDA=90°,即可求出答案.

解答 (1)證明:過M作ME⊥AD于E,
∵DM平分∠ADC,∠C=90°,ME⊥AD,
∴MC=ME,
∵M為BC的中點,
∴BM=MC=ME,
∵∠B=90°,ME⊥AD,
∴AM平分∠DAB;

(2)AM⊥DM,
證明:∵AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠MDA=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∴∠MAD+∠MDA=90°,
∴∠AMD=90°,
∴AM⊥DM.

點評 本題考查了梯形的性質,平行線的性質,角平分線性質的應用,主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力,難度適中.

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