Question

5．如圖，直線y=-x+3與x、y軸分別交于點A，B，與反比例函數的圖象交于點P（2，1）．
（1）求該反比例函數的關系式；
（2）設PC⊥y軸于點C，點A關于y軸對稱點為A′，求△ABC的周長和sin∠BA′C的值．

Answer 1

分析 （1）設反比例函數的解析式為y=$\frac{k}{x}$，把點P坐標代入即可解決問題．
（2）如圖，連接AC、BA′、CA′，作CH⊥BA′于H．由sin∠BA′C=$\frac{CH}{CA′}$可知，求出CH、CA′即可解決問題．

解答 解：（1）設反比例函數的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函數經過點P（2，1），
∴k=2，
∴y=$\frac{2}{x}$．

（2）如圖，連接AC、BA′、CA′，作CH⊥BA′于H．

直對于線y=-x+3，令x=0得y=3，令y=0得x=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵PC⊥OB，P（2，1），
∴OC=1，OA=OB=OA′=3，BC=OB-OC=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
在Rt△OCA′中，CA′=$\sqrt{OA{′}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△BOA′中，BA′=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵sin∠CBH=$\frac{CH}{BC}$=$\frac{OA′}{BA′}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
∴CH=$\sqrt{2}$，
∴sin∠BA′C=$\frac{CH}{CA′}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用、銳角三角函數，勾股定理、三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．