Question

3．已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價格為1.8元/千克，每次購買配料除需支付運輸費236元外，還需支付保管費用，其標準如下：7天以內（含7天），無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數，根據實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（1）當9天購買一次配料時，求該廠的配料保管費用P是多少元？
（2）當x天購買一次配料時，求該廠在這x天中用于配料的總支出y（元）關于x的函數關系式；
（3）求多少天購買一次配料時，才能使該廠平均每天的總支出最少？
（總支出=購買配料費+運輸費+保管費）

Answer 1

分析 （1）根據題意得出第8天剩余配料的重量=9天配料的重量-7天配料的重量，第9天剩余配料的重量=9天配料的重量-8天配料的重量，分別代入求出即可；7天的費用=70，8、9兩天的費用=0.03×200×（1+2），相加求出即可；
（2）分兩種情況列出總支出y（元）關于x的函數關系；
（3）由（2）可知：該廠平均每天的總支出有兩種情況，設x天購買一次配料平均每天的總支出為W，則W=$\frac{370x+236}{x}$和W=$\frac{3{x}^{2}+321x+432}{x}$，求出它們的最值即可．

解答 解：（1）第8天剩余配料的重量為200×9-200×7=400（千克），
第9天剩余配料的重量為200×9-200×8=200（千克），
當9天購買一次配料，該廠的配料保管費用
P=70+0.03×（400+200）=88（元），
答：當9天購買一次配料時，該廠的配料保管費用P是88元．
（2）①當x≤7時，
y=360x+10x+236=370x+236；
②當x＞7時，
y=360x+236+70+6[（x-7）+（x-6）+…+2+1]
=3x²+321x+432．
（3）設x天購買一次配料平均每天的總支出為W元，
①當≤7時，W=$\frac{270x+236}{x}$=270+$\frac{236}{x}$，
所以，x=7時，W有最小值，W_最小值=270+$\frac{236}{7}$≈404；
②當＞7時，W=$\frac{3{x}^{2}+321x+432}{x}$=3（x+$\frac{144}{x}$）+321，
當x=$\frac{144}{x}$時，W有最小值，
解得x=12，
所以，x=12時，W_最小值=393；
綜上，12天購買一次配料時，才能使該廠平均每天的總支出最少．

點評 本題考查了二次函數的最值，二次函數等知識點的理解和掌握，根據題意列出關系式是解題的關鍵．