Question

15．古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派由古希臘哲學(xué)家畢達哥斯拉所創(chuàng)立，畢達哥斯拉學(xué)派認為數(shù)是萬物的本原，事物的性質(zhì)是由某市數(shù)量關(guān)系決定的，如他們研究各種多邊形數(shù)：
記第n個k邊形數(shù)N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n（m≥1，k≥3，k，n都為整數(shù)）
如第1個三角形數(shù)N（1，3）=$\frac{3-2}{2}$×1²+$\frac{4-3}{2}$×1=1；
第2個三角形數(shù)N（2，3）=$\frac{3-2}{2}$×2²+$\frac{4-3}{2}$×2=3；
第3個三角形數(shù)N（3，4）=$\frac{4-2}{2}$×3²+$\frac{4-4}{2}$×3=9；
第4個三角形數(shù)N（4，4）=$\frac{4-2}{2}$×4²+$\frac{4-4}{2}$×4=16
（1）N（5，3）=15，N（6，5）=51；
（2）若N（m，6）比N（m+2，4）大10，求m的值；
（3）若記y=N（6，t）-N（t，5），試求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)N（n，k）的定義，求出N（5，3），N（6，5）的值即可．
（2）根據(jù)N（m，6）比N（m+2，4）大10，列出方程即可解決問題．
（3）首先根據(jù)y=N（6，t）-N（t，5），構(gòu)建二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）N（5，3）=$\frac{3-2}{2}$×5²+$\frac{4-3}{2}$×5
=12.5+2.5
=15，
N（6，5）=$\frac{5-2}{2}$×6²+$\frac{4-5}{2}$×6
=54-3
=51，
故答案為15，51．

（2）∵N（m，6）比N（m+2，4）大10，
∴$\frac{6-2}{2}$×m²+$\frac{4-6}{2}$×m-$\frac{4-2}{2}$×（m+2）²-$\frac{4-4}{2}$×（m+2）=10，
∴2m²-m-（m+2）²=10，
整理，可得
m²-5m-14=0，
解得m=7或m=-2．

（3）y=N（6，t）-N（t，5）
=$\frac{t-2}{2}$×6²+$\frac{4-t}{2}$×6-$\frac{5-2}{2}$×t²-$\frac{4-5}{2}$×t
=18t-36+12-3t-1.5t²+0.5t
=-1.5（t-$\frac{31}{6}$）²+$\frac{385}{24}$，
∵r≥1，t≥3，k，n都為整數(shù)，-1.5＜0，
∴t=5時，y有最大值，最大值為16，
∴y的最大值為16．

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的解等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考常考題型．