Question

10．若a，b，c均為非零實數，且a+b+c=abc=a³，則ab+bc+ca的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 9
• D． 13

Answer 1

分析 由b+c=a³-a、bc=a²知ab+bc+ca=a²+a（a³-a）=a⁴，將b、c看作方程x²-（b+c）x+bc=0的兩根，即方程x²+（a-a³）x+a²=0有兩個實數根，可得△=（a-a³）²-4a²≥0，即a⁶-2a⁴-3a²≥0，由a²≠0可得a²-3≥0，即a²≥3，繼而可得答案．

解答 解：∵a，b，c均為非零實數，a+b+c=abc=a³，
∴b+c=a³-a，bc=a²，
∴ab+bc+ca=a²+a（a³-a）=a⁴，
∵b、c是方程x²-（b+c）x+bc=0的兩根，
∴方程x²+（a-a³）x+a²=0有兩個實數根，
則△=（a-a³）²-4a²≥0，即a⁶-2a⁴-3a²≥0
∵a²≠0，
∴a⁴-2a²-3≥0，即（a²-3）（a²+1）≥0，
由a²≥1可得a²-3≥0，即a²≥3，
∴ab+bc+ca=a²+a（a³-a）=a⁴≥9，
即ab+bc+ca的最小值為9，
故選：C．

點評 本題主要考查一元二次方程的判別式、因式分解的應用，根據題意將待求代數式用同一個字母表示且構建一個以b、c為根的方程是解題的關鍵．