Question

5．如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，∠AOC=60°，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且PB=BO=3cm．連接PC交半圓于點(diǎn)D，過(guò)P作PE⊥PA交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求PE長(zhǎng)．

Answer 1

分析 先求出∠PDE=30°，再判斷出∠BDE=∠BPE=90°，進(jìn)而得出∠BDE+∠BPE=180°，即可得出點(diǎn)B，P，E，D四點(diǎn)共圓，最后在直角三角形BPE中，用三角函數(shù)值即可求出PE．

解答 解：如圖，連接BD，BE，
∵∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠BDE=90°，
∵PE⊥PA，
∴∠BPE=90°，
∴∠BDE=∠BPE=90°，
∴∠BDE+∠BPE=180°，
∴點(diǎn)B，P，E，D四點(diǎn)共圓，
∴∠PBE=∠PDE=30°，
在Rt△BPE中，tan∠PBE=$\frac{PE}{PB}$，
∴tan30°=$\frac{PE}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PE=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四點(diǎn)共圓，主要考查了同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系，四點(diǎn)共圓，銳角三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵判斷出點(diǎn)B，P，E，D四點(diǎn)共圓．