Question

17．在四邊形ABCD中，連接對角線AC、BD，AB=BC，DC=6，AD=9，且∠ABC=2∠ADC=60°，則BD=3$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 先判斷出AB=AC，再利用旋轉作出輔助線，進而判斷出△ADE是等邊三角形，再判斷出△CDE是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE，即可得出結論．

解答 解：如圖，∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∴將△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
連接DE．
由旋轉知，AE=AD=9，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD=9，∠ADE=60°，
∵2∠ADC=60°，
∴∠ADC=30°，
∴∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°，
在Rt△CDE中，CD=6，DE=9，
根據勾股定理得，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴BD=CE=3$\sqrt{13}$，
故答案為：3$\sqrt{13}$．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的旋轉、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理．解本題的關鍵是利用旋轉做出輔助線構造出直角三角形；注意掌握數形結合思想的應用．