Question

6．已知：如圖，∠ACD=90°，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，DB⊥MN于點(diǎn)B．
（1）在圖1中，當(dāng)AC=DC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，
①在圖1中依題意補(bǔ)全圖形；
②線段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，CD=$\sqrt{3}$AC，其它條件不變．
①在圖2中，證明：2CB+BD=$\sqrt{3}$AB；
②在圖3中，線段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是BD-2CB=$\sqrt{3}$AB．

Answer 1

分析 （1）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，據(jù)此作圖即可；
②先根據(jù)ASA判定△CAE≌△CDB，得出AE=DB，CE=CB，進(jìn)而得到△ECB為等腰直角三角形，得出BE=$\sqrt{2}$CB，再根據(jù)BE=AE+AB，得到BE=BD+AB，即可得出BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，根據(jù)∠ACE=∠DCB，∠D=∠CAE，即可判定△ACE∽△DCB，進(jìn)而得出$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，從而得到$\sqrt{3}$BE=2CB，$\sqrt{3}$AE=BD，最后根據(jù)AB=AE+BE，得出$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE+$\sqrt{3}$BE，即$\sqrt{3}$AB=BD+2CB；
②過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，根據(jù)∠ACE=∠DCB，∠D=∠CAE，判定△ACE∽△DCB，進(jìn)而得出$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，即可得到$\sqrt{3}$BE=2CB，$\sqrt{3}$AE=BD，最后根據(jù)AB=AE-BE，得出$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE-$\sqrt{3}$BE，即$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖1所示；

②∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN于點(diǎn)B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAC+∠D=180°．
又∵∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠D=∠EAC．
在△CAE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠DCB}\\{CA=CD}\\{∠EAC=∠D}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△CDB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
即BD+AB=$\sqrt{2}$CB，
故答案為：BD+AB=$\sqrt{2}$CB；

（2）①證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN，
∴∠DBF=90°=∠ACF，
又∵∠DFB=∠AFC，
∴∠D=∠CAE，
∴△ACE∽△DCB，
又∵CD=$\sqrt{3}$AC，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，$\frac{CB}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{3}$BE=2CB，
∵$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$AE=BD，
∵AB=AE+BE，
∴$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE+$\sqrt{3}$BE，
即$\sqrt{3}$AB=BD+2CB；

②線段BD、AB、CB滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是：BD-2CB=$\sqrt{3}$AB．
理由：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CB，與直線MN于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB．
∵DB⊥MN，
∴∠DBA=90°=∠ACD，
又∵∠AFB=∠DFC，
∴∠D=∠CAE，
∴△ACE∽△DCB，
又∵CD=$\sqrt{3}$AC，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴Rt△BCE中，$\frac{CB}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{3}$BE=2CB，
∵$\frac{BD}{EA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$AE=BD，
∵AB=AE-BE，
∴$\sqrt{3}$AB=$\sqrt{3}$AE-$\sqrt{3}$BE，
即$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．
故答案為：$\sqrt{3}$AB=BD-2CB．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形作圖，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．