Question

16．如圖，點A、B在函數y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象上，點A在點B的左側，且OA=OB，點A關于y軸的對稱點為A′，點B關于x軸的對稱點為B′，連接A′B′分別交OA、OB于點D、C．若四邊形ABCD的面積為$\frac{6}{5}$，則點A的坐標為（$\frac{1}{2}$，2），點C的坐標為（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．

Answer 1

分析 因為反比例函數y=$\frac{1}{x}$，關于直線y=x對稱，因為OA=OB，所以A、B關于直線y=x對稱，可以設點A的坐標為（m，$\frac{1}{m}$），則點B的坐標為（$\frac{1}{m}$，m），則點A′的坐標為（-m，$\frac{1}{m}$），點B′的坐標為（$\frac{1}{m}$，-m），求出直線OB、A′B′的解析式，解方程組求出點C的坐標，求出線段CD、AB，列出方程求出m即可解決問題．

解答 解：∵反比例函數y=$\frac{1}{x}$，關于直線y=x對稱，
∵OA=OB，
∴A、B關于直線y=x對稱，
設點A的坐標為（m，$\frac{1}{m}$），則點B的坐標為（$\frac{1}{m}$，m），則點A′的坐標為（-m，$\frac{1}{m}$），點B′的坐標為（$\frac{1}{m}$，-m），
∴直線OB的解析式為y=m²x，
直線A′B′的解析式為y=-x+$\frac{1}{m}$-m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={m}^{2}x}\\{y=-x+\frac{1}{m}-m}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}}\\{y=\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴C[$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$，$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$]，根據對稱性可知D[$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$，$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$]，
如圖，設A′B′交x軸于F，交y軸于E，連接AA′，作DN⊥OF于N，CM⊥OE于M，DN交CM于G．

∵OE=OF=$\frac{1}{m}$-m，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴∠A′EA=90°，AE=$\sqrt{2}$m，
在Rt△CDG中，∵DG=CG，CD=$\sqrt{2}$CG=$\sqrt{2}$[$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$-$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$]．
同理可得，AB=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{m}$-m），
∵四邊形ADCB的面積為$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{2}（\frac{1}{m}-m）+\sqrt{2}[\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}-\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}]}{2}$•$\sqrt{2}$m=$\frac{6}{5}$，
整理得$\frac{2（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$=$\frac{6}{5}$，解得m²=$\frac{1}{4}$，∵m＞0，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，2），C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．
故答案為（$\frac{1}{2}$，2）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．

點評 本題考查反比例函數圖象上點的特征、一次函數函數的應用、軸對稱、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會構建一次函數，利用方程組確定直線的交點坐標，屬于中考填空題中的壓軸題．