Question

8．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入拋物線解析式可求得b的值，則可求得拋物線解析式及其對稱軸方程；
（2）由拋物線解析式可求得A、B、C的坐標，根據待定系數法可求得直線BC的解析式；
（3）由A、B、C的坐標可求得OA、OC、OB的長，根據相似三角形的判定可證明△AOC∽△COB．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4的圖象經過點A（-2，0），
∴-$\frac{1}{4}$×（-2）²+b×（-2）+4=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線解析式為 y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
又∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴對稱軸方程為x=3；
（2）在y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
令y=0，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，整理得x²-6x-16=0，解得x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（3）△AOC∽△COB成立．
理由如下：
在△AOC與△COD中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、一元二次方程及相似三角形的判定等知識．在（1）中掌握函數圖象上的點的坐標滿足函數解析式是解題的關鍵，在（2）中求得B、C的坐標是解題的關鍵，在（3）中分別求得OA、OC、OB的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．