Question

7．如圖，A，B是直線l上的兩點，AB=4厘米，過l外一點C作CD∥l，射線BC與l所組成的銳角為60°，線段BC=2厘米，動點P、Q分別從B、C同時出發，P以1厘米/秒的速度，沿由B向C的方向運動；Q以2厘米/秒的速度，沿由C向D的方向運動，設P、Q運動的時間為t秒，當t＞2時，PA交CD于點E．
（1）用含t的代數式分別表示CE和QE的長；
（2）求△APQ的面積s與t的函數表達式；
（3）當QE恰好平分△APQ的面積時，QE的長是多少？

Answer 1

分析 （1）根據題意得出BP=t，CQ=2t，PC=t-2，再根據EC∥AB，得出$\frac{EC}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的長；
（2）以QE為底邊，過P引l的垂線作高，根據P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函數求出高，那么關鍵是求QE的長，我們可以根據Q的速度用時間t表示出CQ，那么只要求出CE即可．用相似三角形的對應線段成比例來求CE的長，根據三角形PEC和三角形PAB相似，可得出關于CE、AB、PC、BC的比例式，由BP、BC、AB的值，可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根據三角形的面積公式，得出關于S與t的函數關系式；
（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面積，那么此時P到CD和CD到l之間的距離就相等，那么C就是PB的中點，可根據BP=2BC求出t的值，然后根據（1）中得出的表示QE的式子，將t代入即可得出QE的值即可．

解答 解：（1）由題意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴EC=$\frac{PC•AB}{PB}$=$\frac{4（t-2）}{t}$，
∴QE=QC-EC=2t-$\frac{4（t-2）}{t}$=$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$；

（2）如圖，作PF⊥L于F，交DC延長線于M，AN⊥CD于N．

在△PBF中，PF=PB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S_△APQ=S_△AQE+S_△PQE
=$\frac{1}{2}$QE•AN+$\frac{1}{2}$QE•PM=$\frac{1}{2}$QE•PF
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t²-2t+4）；

（3）此時，E為PA的中點，所以C也是PB的中點，
則t-2=2，
∴t=4，
∴QE=$\frac{2（{t}^{2}-2t+4）}{t}$=$\frac{2（{4}^{2}-2×4+4）}{4}$=6（厘米）．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的性質以及解直角三角形的應用等知識點，根據相似三角形的性質得出表示CE的式子是解題的關鍵所在．