Question

12．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80米的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為x米，矩形區(qū)域ABCD的面積為y米²．
（1）求證：AE=2BE；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE；
（2）設(shè)BE=a，則有AE=2a，表示出a與2a，進(jìn)而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．

解答 解：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，
∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，
又∵EF是公共邊，
∴AE=2BE；

（2）設(shè)BE=a，則AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=$\frac{80-2x}{8}$，AB=3a，
∴y=3ax=3•$\frac{80-2x}{8}$•x=-$\frac{3}{4}$x²+30x，
∵a=-x+40＞0，
∴x＜40，
∴0＜x＜40

（3）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+30x=-$\frac{3}{4}$（x-20）²+300（0＜x＜40），且二次項(xiàng)系數(shù)為-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當(dāng)x=20時，y有最大值，最大值為300平方米．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．