Question

2．已知：直線l：y=2x+2b與過點D（0，-2）平行于x軸的直線DE交于B點，與x軸交于點A．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△ABD是以AD為底邊的等腰三角形時，求b的值；
（3）設(shè)直線y=2x+2b與y軸交于點C，當(dāng)△CAO的面積是△CBD的面積的4倍時，求b的值．

Answer 1

分析 （1）在y=2x+2b中分別令y=0和y=-2可分別求得相應(yīng)的x的值，則可求得A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）由A、B、D的坐標(biāo)可用b表示出AB和BD的長，由條件可得AB=BD，可得到關(guān)于b的方程，可求得b的值；
（3）由條件可證明△CBD∽△CAO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CD和CO的關(guān)系，分點C在點D下方和上方兩種情況可分別求得OC的長，則可求得b的值．

解答 解：
（1）當(dāng)y=0時，2x+2b=0，x=-b，
當(dāng)y=-2時，2x+2b=-2，x=-b-1，
∴A（-b，0），B（-b-1，-2）；
（2）∵A（-b，0），B（-b-1，-2），D（0，-2）；
∴AB=$\sqrt{（-b-1+b）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BD=|-b-1|，
∵△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，
∴AB=BD，即|-b-1|=$\sqrt{5}$，
解得${b_1}=\sqrt{5}-1$，${b_2}=-\sqrt{5}-1$；
（3）∵DE∥x軸，
∴△CBD∽△CAO，
∴$\frac{S△CDB}{S△CAO}={（{\frac{CD}{CO}}）^2}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CD}{CO}=\frac{1}{2}$，
①如圖1，當(dāng)點C在點D下方時，

∴CO=2OD=4，
∴C（0，-4），
∴b=-2；
②如圖2，當(dāng)點C在點D上方時，

∴$CO=\frac{2}{3}OD=\frac{4}{3}$，
∴$C（{0，-\frac{4}{3}}）$，
∴$b=-\frac{2}{3}$；
綜上可知b的值為-2或-$\frac{2}{3}$．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）注意函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)的求法，在（2）中用b分別表示出AB和BD的長是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用相似三角形的性質(zhì)求得CD和CO的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．