Question

7．如圖，拋物線y=-（x-1）²+m經過E（2，3），與x軸交于A、B兩點（A在B的左側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸的交于點是H，點F是AE中點，連接FH．求線段FH的長；
（3）P為直線AE上方拋物線上的點．當△AEP的面積最大時．求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）把E點坐標代入拋物線解析式可求得m的值，可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得A點坐標，則可求得F點坐標，由對稱軸可求得H坐標，則可求得FH的長；
（3）由A、E坐標，利用待定系數法可求得直線AE的解析式，過P作PG∥y軸，交直線AE于點G，設出P點坐標，則可表示出G點坐標，從而可表示出PG的長，進一步表示出△APE的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值時的點P坐標．

解答 解：
（1）∵y=-（x-1）²+m經過E（2，3），
∴3=-（2-1）²+m，解得m=4，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4；
（2）在y=-（x-1）²+4中，令y=0可得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴A（-1，0），
∵F是AE的中點，且E（2，3）
∴F（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由拋物線解析式可求得拋物線對稱軸為x=1，
∴H（1，0），
∴FH=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（3）如圖，過P作PG∥y軸，交直線AE于點G，

設直線AE解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AE解析式為y=x+1，
∵P為直線AE上方拋物線上的點，
∴設P（t，-（t-1）²+4），則G（t，t+1），
∴PG=-（t-1）²+4-（t+1）=-t²+t+2=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴S_△PAE=$\frac{1}{2}$PG•[3-（-1）]=2PG=-2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，
∵-2＜0，
∴當t=$\frac{1}{2}$時，S_△PAE有最大值，此時P點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、一元二次方程、勾股定理、中點的定義、三角形的面積、二次函數的性質及方程思想等知識點．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中利用中點求得F點的坐標是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標表示出△PAE的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．