Question

10．如圖，兩圓圓心相同，大圓的弦AB與小圓相切，若圖中陰影部分的面積是16π，則AB的長為8．

Answer 1

分析 設AB與小圓切于點C，連結OC，OB，根據圓環（陰影）的面積=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=16π，即可求解．

解答 解：如圖所示：設AB與小圓切于點C，連結OC，OB．
∵AB與小圓切于點C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=$\frac{1}{2}$AB．
∵圓環（陰影）的面積=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=16π，
又∵直角△OBC中，OB²=OC²+BC²
∴圓環（陰影）的面積=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²）=π•BC²=16π，
∴BC=4，故AB=2BC=8．
故答案為：8．

點評 此題考查了垂徑定理，切線的性質以及勾股定理，解題的關鍵是正確作出輔助線，注意到圓環（陰影）的面積=π•OB²-π•OC²=π（OB²-OC²），利用勾股定理把圓的半徑之間的關系轉化為直角三角形的邊的關系．