Question

2．如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E，F分別在邊AC，BC上）．
（1）若△CEF與△ABC相似，①當AC=BC=2時，AD的長為$\sqrt{2}$．②AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形；
②若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CE：CF=3：4，如圖1所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CF：CE=3：4，如圖2所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似．

解答 解：（1）若△CEF與△ABC相似．
當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如圖1所示．
此時D為AB邊中點，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$；
故答案為：$\sqrt{2}$；

②若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：
①若CE：CF=3：4，如圖1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折疊性質可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=AC•cosA=3×$\frac{3}{5}$=1.8；
②若CF：CE=3：4，如圖2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折疊性質可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D點為AB的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5．
綜上所述，AD的長為1.8或2.5．
故答案為：1.8或2.5．

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△CBA相似．理由如下：
如答圖2所示，連接CD，與EF交于點Q．
∵CD是Rt△ABC的中線
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B．
由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．