Question

13．已知二次函數C₁：y=ax²+4ax（a≠0）的圖象頂點為M，顯然它與x軸一定有兩個不同的交點．
（1）求二次函數C₁與x軸的兩個交點的坐標；
（2）若二次函數C₁與一次函數y=-x-4只有一個交點，求二次函數C₁的解析式；
（3）將二次函數C₁繞原點中心對稱得到求二次函數C₂，
①直接寫出求二次函數C₂的解析式（用含a式子表示）；
②二次函數C₂的圖象能否經過二次函數C₁的圖象頂點M？說明理由；
③直線x=1與二次函數C₁、C₂分別交于P、Q兩點，已知：PQ=2，求二次函數C₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）將y=0代入二次函數C₁：y=ax²+4ax（a≠0）中，即可求得二次函數C₁與x軸的兩個交點的坐標；
（2）令ax²+4ax=-x-4，化為二元一次方程的一般形式，然后令△=0，即可求得a的值，從而可以求得二次函數C₁的解析式；
（3）①根據二次函數C₁繞原點中心對稱得到求二次函數C₂，從而可以求得二次函數C₂的解析式；
②根據一次函數C₁的解析式可以求得它的頂點坐標，然后代入二次函數C₂的解析式中，即可解答本題；
③根據題意可以分別求得P、Q的坐標，從而可以求得a的值，進而得到二次函數C₁的解析式．

解答 解：（1）∵y=ax²+4ax=ax（x+4），
∴y=0時，ax（x+4）=0，
解得，x₁=0，x₂=-4，
即二次函數C₁與x軸的兩個交點的坐標（0，0），（-4，0）；
（2）∵二次函數C₁與一次函數y=-x-4只有一個交點，
∴ax²+4ax=-x-4
∴ax²+（4a+1）x+4=0，
∴△=（4a+1）²-4a×4=0，
解得，a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函數C₁的解析式是y=$\frac{1}{4}{x}^{2}+x$；
（3）①二次函數C₁繞原點中心對稱得到求二次函數C₂，二次函數C₁：y=ax²+4ax（a≠0），
∴二次函數C₂的解析式是：-y=a（-x）²+4a×（-x），
化簡，得y=-ax²+4ax，
即二次函數C₂的解析式是y=-ax²+4ax；
②二次函數C₂的圖象不經過二次函數C₁的圖象頂點M，
∵二次函數C₁：y=ax²+4ax=a（x+2）²-4a，
∴二次函數C₁的頂點坐標是（-2，-4a），
將x=-2代入二次函數C₂的解析式y=-ax²+4ax，得
y=-a×（-2）²+4a×（-2）=-12a，
∵-4a≠-12a，
∴二次函數C₂的圖象不經過二次函數C₁的圖象頂點M；
③當x=1時，y=ax²+4ax=a×1²+4a×1=a+4a=5a，
當x=1時，y=-ax²+4ax=-a×1²+4a×1=3a，
∴點P的坐標為（1，5a），點Q的坐標（1，3a），
∴PQ=|5a-3a|=|2a|，
∵PQ=2，
∴|2a|=2，
解得，a=±1，
∴二次函數C₁的解析式是y=x²+4x或y=-x²-4x．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求二次函數解析式，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質解答．