Question

17．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個頂點都在格點上，如果用（1，0）表示C點的位置，用（4，1）表示B點的位置，那么．
（1）畫出直角坐標系；
（2）畫出與△ABC關于x軸對稱的圖形△DEF；
（3）P為x軸上的一個動點，是否存在P使PA+PB的值最小？若不存在，請說明理由；若存在請求出點P的坐標和PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據C點坐標可確定原點位置，然后可畫出坐標系；
（2）首先確定A、B、C三點關于x軸對稱的對稱點位置，然后連接即可；
（3）連接BD交x軸于點P，連接PA，設直線BD的表達式為y=kx+b，利用待定系數法確定解析式，然后根據解析式確定P點坐標，再利用勾股定理計算出BD的長．

解答 解：（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）存在，連接BD交x軸于點P，連接PA，由對稱可知D（0，-2），
設直線BD的表達式為y=kx+b，則有b=-2，4k+b=1，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=-2，
所以直線BD的表達式為y=$\frac{3}{4}$x-2，
當y=0時，有$\frac{3}{4}$x-2=0，
解得x=$\frac{8}{3}$，
所以P（$\frac{8}{3}$，0），
由對稱可知PA=PD，所以PA+PB=PD+PB=DB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點評 此題主要考查了作圖--軸對稱變換，以及最短路線，關鍵是正確確定A、B、C三點關于x軸對稱的對稱點位置．