Question

6．在平行四邊形ABC中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2，∠A=45°，問AB邊上是否存在一個點P，使得∠DPC=45°？若存在，請求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 存在．作DM⊥AB于M．首先證明，△ADB，△DBC的是等邊三角形，推出BD=BC=AD=$\sqrt{2}$，以B為圓心BC畫圓交AB于P，此時∠DPC=$\frac{1}{2}$∠DBC=45°，推出PB=BC=$\sqrt{2}$，由此即可解決問題．

解答 解：存在．理由如下，
如圖，作DM⊥AB于M．

在Rt△ADM中，∵AD=$\sqrt{2}$，∠A=45°，
∴AM=DM=1，
∵AB=2，
∴AM=BM=DM=1，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CB，
∴∠DBC=∠ADB=90°，△ADB，△DBC的是等腰直角三角形，
∴BD=BC=AD=$\sqrt{2}$，
以B為圓心BC畫圓交AB于P，此時∠DPC=$\frac{1}{2}$∠DBC=45°，
∴PB=BC=$\sqrt{2}$，
∴AP=AB-PB=2-$\sqrt{2}$，

點評 本題考查平行四邊形的性質，圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造輔助圓解決問題，屬于中考常考題型．