Question

18．閱讀理解  如圖①，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分，將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點B_n與點C重合．無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的“好角”．
小明展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．
情形一：如圖②，沿等腰△ABC頂角∠BAC的平分線AB₁折疊，點B與點C重合．
情形二：如圖③，沿△ABC頂角∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時點B₁與點C重合．
探究發現  （1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，問∠BAC是△ABC的好角（填寫“是”或“不是”）；
（2）小明經過三次折疊發現了∠BAC是△ABC的好角，請探究∠B與∠C（假設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=3∠C；
根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（假設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；
（3）小明找到一個三角形，三個內角分別為15°、60°、105°，發現60°，105°是此三角形的好角；
（4）如果一個三角形的最小角是10°，且滿足該三角形的三個角均是此三角形的好角，則此三角形另兩個角的度數為10°，160°．

Answer 1

分析 （1）仔細分析題意根據折疊的性質及“好角”的定義即可作出判斷；
（2）因為經過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A₂B₂C=∠C，由∠ABB₁=∠AA₁B₁，∠AA₁B₁=∠A₁B₁C+∠C，又∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，∠A₁A₂B₂=∠A₂B₂C+∠C，∠ABB₁=∠A₁B₁C+∠C=∠A₂B₂C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結果；
（3）根據好角的定義即可得出結果；
（4）根據好角的定義進行推理計算，即可得出結果．

解答 解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小麗展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分線AB₁折疊，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A1B2折疊，此時點B₁與點C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C；
故答案為：是；
（2）∠B=3∠C；
在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點B₂與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．
理由如下：∵根據折疊的性質知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁B₁C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；
故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；
故答案為：∠B=3∠C；∠B=n∠C；
（3）∵60°=4×15°，15°+60°+105°=180°，
∴60°是三角形的好角；
同理：105°=7×15°，15°+60°+105°=180°，
∴105°是三角形的好角；
故答案為：60°，105°；
（4）10°，160°；由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
因為最小角是10°是△ABC的好角，
根據好角定義，則可設另兩角分別為10m°，10mn°（其中m、n都是正整數）．
由題意，得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17．
因為m、n都是正整數，所以m與n+1是17的整數因子，
因此有：m=1，n+1=17；
所以m=1，n=16；
所以10m=10°，10mn=160°；
所以該三角形的另外兩個角的度數分別為：10°，160°；
故答案為：10°，160°．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了折疊問題，找規律，三角形的內角和定理，從折疊有限次數中找到規律是解本題的關鍵，也是難點．