Question

5．如圖，已知△ABC≌△CDA，將△ABC沿AC所在的直線折疊至△AB′C的位置，點B的對應點為B′，連結BB′．
（1）直接填空：B′B與AC的位置關系是垂直；
（2）點P、Q分別是線段AC、BC上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知△BB′C的面積為36，BC=8，求PB+PQ的最小值；
（3）試探索：△ABC的內角滿足什么條件時，△AB′E是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據翻折變換的性質得到AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，根據等腰三角形的性質得到結論；
（2）根據三角形的面積公式求出△BB′C的BC邊上的高，根據軸對稱變換的性質解答；
（3）分∠AB′E=90°和∠AEB′=90°兩種情況，根據翻折變換的性質和平行線的性質解答．

解答 解：（1）由翻折變換的性質可知，AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴B′B⊥AC，
故答案為：垂直；
（2）∵AB=AB′，∠BAC=∠B′AC，
∴AC是B′B的垂直平分線，
∴點B′與點B關于直線AC軸對稱，
連接B′Q，則B′Q是PB+PQ的最小值，
∵△BB′C的面積為36，BC=8，
∴△BB′C的BC邊上的高為36×2÷8=9，
當B′Q⊥BC時，B′Q最小，
∴PB+PQ的最小值為9；
（3）①如圖1，當∠ACB=45°時，∠AEB′=90°．
∵由翻折變換的性質可知，∠BCA=∠B′CA，
∴∠BCB′=90°，
∵△ABC≌△CDA，
∴AB=CD，BC=AD，
∴四邊形ABCD的平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB′=∠BCB′=90°；
②如圖2，由翻折變換的性質可知，當∠ABC=90°時，∠AB′E=90°．

點評 本題考查的是翻折變換的性質、軸對稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．