Question

16．如圖，直線y=kx+b與坐標軸相交于點M（3，0），N（0，4）．
（1）求直線MN的解析式；
（2）根據圖象，寫出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若點P在x軸上，且點P到直線y=kx+b的距離為$\frac{12}{5}$，直接寫出符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點M、N的坐標分別代入一次函數解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組求得它們的值；
（2）直線y=kx+b在x軸及其上方的部分對應的x的取值范圍即為所求；
（3）作△OMN的高OA．在Rt△OMN中利用勾股定理求出MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．根據三角形的面積公式求出OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，則點P的坐標是（0，0）；在x軸上作O關于M的對稱點為（6，0），易得（6，0）到直線y=kx+b的距離也為$\frac{12}{5}$．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b與坐標軸相交于點M（3，0），N（0，4），
所以$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線MN的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4；

（2）根據圖形可知，當x≤3時，y=kx+b在x軸及其上方，即kx+b≥0，
則不等式kx+b≥0的解集為x≤3；

（3）如圖，作△OMN的高OA．
在Rt△OMN中，∵OM=3，ON=4，∠MON=90°，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OA=$\frac{1}{2}$OM•ON，
∴OA=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴點P的坐標是（0，0）；
在x軸上作O關于M的對稱點為（6，0），易得（6，0）到直線y=kx+b的距離也為$\frac{12}{5}$，
所以點P的坐標是（0，0）或（6，0）．

點評 本題考查了一次函數與一元一次不等式，待定系數法求一次函數解析式，三角形的面積，點到直線的距離，勾股定理．難度適中．