Question

20．如圖，在直角坐標系xOy中，Rt△AOB的兩直角邊分別在兩坐標軸上，A（a，0），B（0，a），OC⊥AB于C．
（1）若a=8，求△AOC的面積；
（2）直線AD分別交OC于D，交y軸于E，且OD=OE，過B作BF⊥直線AD于F，求證：AE=2BF；
（3）點G與B關于x軸對稱，點P是X軸負半軸上一動點，過點P作BP的垂線與AG相交于點H，若點M為第一象限內任一點，過點B作BQ⊥HM于Q，當點P在x軸的負半軸上運動時，∠BQP的度數是否發生變化？若不變，請求出∠BQP的度數；若變化，請求出其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）由A（a，0），B（0，a），得到OA=OB=a，根據OC⊥AB于C，求出OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，即可得到結論；
（2）根據已知條件得到∠OED+∠OAE=90°，由OC⊥AB，得到∠CDA+∠CAD=90°，根據余角的性質得到∠OAD=∠CAD，證得AD為∠OAB的平分線，延長BF交x軸于點M，根據等腰三角形的性質得到BM=2BF，推出△BMO≌△AEO，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（3）由點G與B關于x軸對稱，得到∠GAO=∠BAO=45°，求出∠BAG=90°，由于BP⊥PG，BQ⊥QG，于是得到∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，推出P，H，Q，QB四點共圓，根據圓周角定理即可得到結論．

解答 解：（1）∵A（a，0），B（0，a），
∴OA=OB=a，
∵OC⊥AB于C，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，當a=8時，OC=AC=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}×4×4$=8；

（2）∵OD=OE，∠OED=∠ODE=∠CDA，
∵OE⊥AO，
∴∠OED+∠OAE=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD為∠OAB的平分線，
延長BF交x軸于點M，則BM=2BF，
∵∠BMO+∠OBM=90°，∠OBF+∠BEF=∠OBF+∠OEA=90°，
∴∠BMO=∠OEA，
在△BMO與△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠OEA}\\{∠MOB=∠EOA}\\{BO=OA}\end{array}\right.$，
∴△BMO≌△AEO，
∴AE=BM=2BF，

（3）∠BQP不變，∠BQP=45°，
∵點G與B關于x軸對稱，
∴∠GAO=∠BAO=45°，
∴∠BAG=90°，
∵BP⊥PG，BQ⊥QG，
∴∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，
∴P，H，Q，QB四點共圓，
∴∠BQP=∠BAP=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，等腰直角三角形的性質，四點共圓，正確的識別圖形是解題的關鍵．