Question

12．某市新建了圓形文化廣場，小杰和小浩準備不同的方法測量該廣場的半徑．
（1）小杰先找圓心，再量半徑．請你在圖1中，用尺規作圖的方法幫小杰找到該廣場的圓心O（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）小浩在廣場邊（如圖2）選取A、B、C三根石柱，量得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測得BC長為240米，A到BC的距離為5米．請你幫他求出廣場的半徑（結果精確到米）．
（3）請你解決下面的問題：如圖3，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，求出OP的長度范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）作出弦的垂直平分線，再結合垂徑定理推論得出圓心位置；
（2）設圓心為O，連結 OA、OB，OA交BC于D，根據A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，得出$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，從而得出BD=DC=$\frac{1}{2}$BC，再根據勾股定理得出OB²=OD²+BD²，設OB=x，即可求出廣場的半徑；
（3）過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，由垂徑定理可知AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，再根據勾股定理求出OE的長，由此可得出結論．

解答 解：（1）如圖1所示，在圓中作任意2條弦的垂直平分線，由垂徑定理可知這2條垂直平分線必定與圓的2條直徑重合，
所以交點O即為所求；

（2）如圖2，連結OA、OB，OA交BC于D，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=120（米），
由題意DA=5，
在Rt△BDO中，
OB²=OD²+BD²，
設OB=x，
則x²=（x-5）²+120²，
解得：10x=14425，
x≈1443，
答：廣場的半徑1443米．

（3）如圖3，過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
∵⊙O的直徑為10cm，
∴OB=$\frac{1}{2}$×10=5cm，
∴OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3（cm），
∵垂線段最短，半徑最長，
∴3cm≤OP≤5cm．

點評 此題考查了圓的綜合題，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、弧、弦、圓周角之間的關系，熟練利用勾股定理得出AO的長是解題的關鍵．另外，解答（3）時，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．