Question

2．如圖，拋物線y=x²-bx+c與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，已知A點坐標為（1，0），拋物線的對稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使△PAB的周長最小？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據A和C關于x=2對稱即可求得C的坐標，然后把A和C的坐標代入拋物線解析式求得b和C的值，得到拋物線解析式；
（2）首先求得AC的長，然后利用三角形面價公式求解；
（3）直線BC與對稱軸x=2的交點就是P，首先利用待定系數法求得BC的解析式，進而求得P的坐標．

解答 解：（1）A（1，0）關于x=2的對稱點是（3，0），則C的坐標是（3，0）．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=x²-4x+3；
（2）AC=3-1=2，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）C是A關于對稱軸的對稱點，則BC與對稱軸的交點就是P．
設BC的解析式是y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是y=-x+3．
當x=2時，y=-2+3=1，
則P的坐標是（2，1）．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式，正確理解P的位置是本題的關鍵．