Question

1．探究證明：
（1）如圖1，矩形ABCD中，點M、N分別在邊BC，CD上，AM⊥BN，求證：$\frac{BN}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$．
（2）如圖2，矩形ABCD中，點M在邊BC上，EF⊥AM，EF分別交AB，CD于點E、點F，試猜想$\frac{EF}{AM}$與$\frac{BC}{AB}$有什么數量關系？并證明你的猜想．
拓展應用：綜合（1）、（2）的結論解決以下問題：
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求$\frac{DN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據兩角對應相等兩三角形相似即可證明．
（2）結論：$\frac{EF}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$．如圖2中，過點B作BG∥EF交CD于G，首先證明四邊形BEFG是平行四邊形，推出BG=EF，由△GBC∽△MAB，得$\frac{BG}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$，由此即可證明．
（3）如圖3中，過點D作平行于AB的直線交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，連接AC，則四邊形ABSR是平行四邊形．由（2）中結論可得：$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BS}{AB}$，想辦法求出BS即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°
∴∠NBA+∠NBC=90°，
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，
∴△BCN∽△ABM，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$．

（2）結論：$\frac{EF}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$．
理由：如圖2中，過點B作BG∥EF交CD于G，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，
∴BG=EF，
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB=90°，
∵∠ABC=∠C=90°，
∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴$\frac{BG}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{EF}{AM}$=$\frac{BC}{AB}$．

（3）如圖3中，過點D作平行于AB的直線交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，連接AC，則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS，
∵AM⊥DN，
∴由（2）中結論可得：$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BS}{AB}$，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB，
∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠SDC+∠RDA=90°，
∵∠RAD+∠RDA=90°，
∴∠RAD=∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{SC}{RD}$，設SC=x，
∴$\frac{5}{10}$=$\frac{x}{RD}$，
∴RD=2x，DS=10-2x，
在Rt△CSD中，∵CD²=DS²+SC²，
∴5²=（10-2x）²+x²，
∴x=3或5（舍棄），
∴BS=5+x=8，
∴$\frac{DN}{AM}$=$\frac{BS}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查相似三角形綜合題、矩形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．