Question

10．如圖，在△ABC中，D是AB中點，聯結CD．
（1）若AB=10且∠ACD=∠B，求AC的長．
（2）過D點作BC的平行線交AC于點E，設$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，請用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$（直接寫出結果）

Answer 1

分析 （1）求出AD=$\frac{1}{2}$AB=5，證明△ACD∽△ABC，得出$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即可得出結果；
（2）由平行線的性質得出AE=EC，由向量的定義容易得出結果．

解答 解：（1）∵D是AB中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=10×5=50，
∴AC=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$；
（2）如圖所示：∵DE∥BC，D是AB的中點，
∴AD=DB，AE=EC，
∵$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、平面向量、平行線的性質；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．