Question

19．如圖，在?ABCD中，E是BC邊的中點，DE與AB的延長線交于點F．
（1）求證：△CDE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，連接AE，試判斷AE和DF的位置關系，并說明埋由．

Answer 1

分析 （1）利用中點定義可得BE=EC，根據平行四邊形的性質可得AB∥CD，根據平行線的性質可得∠F=∠CDE，然后可利用AAS判定△CDE≌△BFE；
（2）首先證明∠F=∠ADF，根據等角對等邊可得AD=AF，再根據全等三角形的性質可得EF=DE，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥DF．

解答 （1）證明：∵E是BC邊的中點，
∴BE=EC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠CDE，
在△BEF和△CED中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠EDC}\\{∠BEF=∠CED}\\{EB=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BFE（AAS）；

（2）解：AE⊥DF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
∵△CDE≌△BFE，
∴EF=ED，
∴AE⊥DF．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的性質，關鍵是掌握平行四邊形對邊平行．