Question

1．把一個(gè)自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個(gè)新數(shù)，叫做第一次運(yùn)算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個(gè)新數(shù)，叫做第二次運(yùn)算，…如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂(lè)數(shù)”．例如：
32→3²+2²=13→1²+3²=10→1²+0²=1，
70→7²+0²=49→4²+9²=97→9²+7²=130→1²+3²+0²=10→1²+0²=1
所以32和70都是“快樂(lè)數(shù)”．
（1）最小的兩位“快樂(lè)數(shù)”是10；
（2）證明19是“快樂(lè)數(shù)”；
（3）若一個(gè)三位“快樂(lè)數(shù)”經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，把這個(gè)三位“快樂(lè)數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個(gè)“快樂(lè)數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)快樂(lè)數(shù)的定義即刻得到結(jié)論；
（2）由19經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)三位“快樂(lè)數(shù)”為abc，由題意，經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，所以第一次運(yùn)算后結(jié)果一定是10或者100，所以a²+b²+c²=10或100即可得出結(jié)論；

解答 解：（1）最小的兩位“快樂(lè)數(shù)”是10，
故答案為：10；
（2）∵19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1，
∴19是快樂(lè)數(shù)；
（3）設(shè)三位“快樂(lè)數(shù)”為abc，由題意，經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算后結(jié)果為1，所以第一次運(yùn)算后結(jié)果一定是10或者100，所以a²+b²+c²=10或100，
∵a，b，c為整數(shù)，且a≠0，∴a²+b²+c²=10 時(shí)，
∴1²+3²+0²=10，
?當(dāng)a=1時(shí)，b=3或0，c=0或3，三位“快樂(lè)數(shù)”為130，103，
當(dāng)a=3時(shí)，b=1或0，c=0或1，三位“快樂(lè)數(shù)”為310，301，
同理當(dāng)a²+b²+c²=10時(shí)，因?yàn)?²+8²+0²=100，所以三位“快樂(lè)數(shù)”有680，608，806，860，
綜上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八個(gè)．又因?yàn)槿�位“快�?lè)數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，所以只有310和860滿足已知條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，讀懂題意弄清“快樂(lè)數(shù)”的判定是解題的關(guān)鍵．