Question

20．如圖，AC分別切⊙O于D、E，作OQ⊥BC交⊙O于P，連DP、EP交BC于G、F，AF、AG分別交DG、EF于M、N．求證：OQ⊥MN．

Answer 1

分析 連接OD、OE．首先證明∠CEF=∠CFE，推出CF=CE，同理可證BD=BG，由梅涅勞斯定理可知$\frac{AN}{NG}$•$\frac{GF}{CF}$•$\frac{CE}{AE}$=1，$\frac{AM}{MF}$•$\frac{FG}{BG}$•$\frac{BD}{AD}$=1，又因為AD=AE．CE=CF，BD=BG，推出$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，推出MN∥BC，由OQ⊥BC，即可推出OQ⊥MN．

解答 證明：連接OD、OE．
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，∵OQ⊥BC，
∴∠OEC=∠OQC=90°，
∴∠QOE+∠C=180°，
∴∠QOE=180°-∠C，
∵OE=OP，
∴∠OEP=∠OPE=$\frac{180-∠QOE}{2}$=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠FPQ=∠OPE=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EFC=90°-∠FPQ=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠CEF=180°-∠EFC-∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，同理可證BD=BG，
由梅涅勞斯定理可知$\frac{AN}{NG}$•$\frac{GF}{CF}$•$\frac{CE}{AE}$=1，$\frac{AM}{MF}$•$\frac{FG}{BG}$•$\frac{BD}{AD}$=1，
∵AD=AE．CE=CF，BD=BG，
∴$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，
∴MN∥BC，
∵OQ⊥BC，
∴OQ⊥MN．

點評 本題考查圓綜合題，切線的性質、等腰三角形的判定和性質、梅涅勞斯定理等知識，解題的關鍵是證明CF=CE，BD=BG，本題的突破點是應用由梅涅勞斯定理，推出$\frac{AN}{NG}$=$\frac{AM}{NF}$，推出MN∥BC，屬于競賽題目．