Question

10．為支持地方，大慶市薩爾圖區、讓胡路區、紅崗區三地現分別有物資100噸、100噸、80噸，需全部運往肇東和肇源兩地，根據需要情況，這批物資運往肇東的數量比運往肇源的數量的2倍少20噸．
（1）求這賑災物資運往肇東和肇源的數量各是多少？
（2）若要求紅崗區運往肇東的物資為60噸，薩爾圖區地運往肇東的物資為x噸（x為整數），讓胡路區運往肇東的物資數量小于薩爾圖區地運往肇東的物資數量的2倍，其余的物資全部運往肇源，且讓胡路區運往肇源的物資數量不超過25噸，則薩爾圖區、讓胡路區兩地的物資運往肇東和肇源的方案有幾種？
（3）已知薩爾圖區、讓胡路區、紅崗區三地的物資運往肇東和肇源的費用如表：

	薩爾圖區	讓葫蘆區	紅崗區
運往肇東的費用（元/噸）	220	200	200
運往肇源的費用（元/噸）	250	220	210

為即時將這批物資運往肇東和肇源，某公司主動承擔運送這批物資的總費用，在（2）問的要求下，該公司承擔運送這批物資的總費用最多是多少？

Answer 1

分析 （1）設這批物資運往肇源的數量是a噸，則運往肇東的數量是（2a-20）噸，根據薩爾圖區、讓胡路區、紅崗區三地分別有賑災物資100噸、100噸、80噸，說明賑災物資一共有280噸，根據等量關系式：運往肇東的數量+運往肇源的數量=280列方程解出．
（2）由薩爾圖區→肇東x噸，紅崗區→肇東60噸，可知讓胡路區→肇東（180-60-x）噸，薩爾圖區→肇源（100-x）噸，紅崗區→肇源80-60=20噸，讓胡路區→肇源[100-（180-60-x）]噸；根據讓胡路區→肇東數量＜薩爾圖區→肇東數量的2倍得：180-60-x＜2x；根據讓胡路區→肇源數量不超過25噸得：100-（180-60-x）≤25；列不等式組求整數解．
（3）設總費用為w元，表示出w的值，化成一次函數，利用增減性求最大值．

解答 解：（1）設這批物資運往肇源的數量是a噸，則運往肇東的數量是（2a-20）噸，
則a+2a-20=100+100+80，
a=100，
2a-20=2×100-20=180（噸），
答：這批物資運往肇東的數量和肇源的數量分別是180噸、100噸．

（2）根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{180-60-x＜2x①}\\{100-（180-60-x）≤25②}\end{array}\right.$，
解得：40＜x≤45，
∵x為整數，
∴x的值是：41、42、43、44、45；
則薩爾圖區、讓胡路區兩地的物資運往肇東和肇源的方案有五種；

（3）設總費用為w元，
則w=220x+250（100-x）+200（180-60-x）+220（x-20）+200×60+210×20，
w=-10x+60800，
∵-10＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當x=41時，w有最大值，w_大=-10×41+60800=60390，
答：該公司承擔運送這批物資的總費用最多是60390元．

點評 本題主要考查了一元一次不等式組的應用和一次函數的最值問題，把函數和應用題結合起來，是數學中的一個難點，關鍵是讀懂題意，列出相應的關系式．