Question

1．已知在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（0，b）滿足$\sqrt{a-b}$+|a-3$\sqrt{2}$|=0，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO=PD，DE⊥AB于E．
（1）求a、b的值．
（2）當P點運動時，PE的值是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值．

Answer 1

分析 （1）根據已知等式，利用非負數的性質求出a與b的值即可；
（2）當P點運動時，PE的值不變化，PE=3，理由為：過O作OC垂直于AB，由OA=OB，C為斜邊AB的中點，利用勾股定理求出AB的長，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC的長，再由三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=BC，且∠AOC=∠BOC=45°，根據PO=PD，利用等邊對等角得到一對角相等，利用外角性質及等式性質得到一對角相等，再由一對直角相等，且PO=PD，利用AAS得到三角形POC與三角形DPE全等，利用全等三角形對應邊相等得到PE=OC，求出PE的長即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+|a-3$\sqrt{2}$|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=0}\\{a-3\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：a=b=3$\sqrt{2}$；
（2）當P點運動時，PE的值不變化，PE=3，理由為：
過O作OC⊥AB，
∵OA=OB=3$\sqrt{3}$，C為斜邊AB的中點，
∴AB=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，即OC=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=45°，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠APD，
∴∠POC=∠APD，
在△POC和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POC=∠PDE}\\{∠PCO=∠DEP=90°}\\{PO=PD}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC=PE=3．
∴當P點運動時，PE的值不變化，PE=3．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，非負數的性質，外角性質及內角和定理，坐標與圖形性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．