Question

16．（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC．以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針方向旋轉至△BEA（點C與點A重合，點E到點E處），連接DE．求證：DE'=DE．
（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，點D，E是AC邊上的兩點，且∠DBE=45°（即∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC）．求證：DE²=AD²+EC²．
（3）如圖3，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，點E是AC邊上的點，點D是CA邊延長線上的點，且∠DBE=45°．第（2）題中的結論：DE²=AD²+EC²還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，再由圖形旋轉的性質可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性質即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出結論；
（2）把△CBE逆時針旋轉90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉后點C與點A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，得出∠DAE′=90°，由（1）證DE=DE′，再根據勾股定理即可得出結論．
（3）作點E關于直線BD的對稱點為F，連接AF、DF、BF，由軸對稱的性質得出則DF=DE，BF=BE，∠DBF=∠DBE=45°，證出∠CBE=∠ABF，由SAS證明△ABF≌△CBE，得出AF=CE，∠BAF=∠ACB=45°，證出∠DAF=90°，由勾股定理得出DF²=AD²+AF²，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋轉而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE與△DBE′中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE'}&{\;}\\{∠DBE=∠DBE'}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DBE′（SAS），
∴DE′=DE；
（2）證明：以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針方向旋轉90°，至△BE'A，如圖2所示：
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．
（3）解：DE²=AD²+EC²還成立．理由如下：
作點E關于直線BD的對稱點為F，連接AF、DF、BF，如圖所示：
則DF=DE，BF=BE，∠DBF=∠DBE=45°，
∵∠ABC=90°，∠DBE=45°，
∴∠CBE=45°+∠ABD=∠ABF
在△ABF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABF=∠CBE}&{\;}\\{BF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，∠BAF=∠ACB=45°，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAF=90°，
∴∠DAF=90°，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+EC²．

點評 本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質、軸對稱的性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握旋轉的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．