Question

11．如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AF⊥AE交DE于點F，已知AE=AF=1，BF=$\sqrt{5}$
（1）求證：△AEB≌△AFD；
（2）試判斷EB與ED的位置關系，并說明理由；
（3）求△AEB的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由于AE⊥AF，得到∠EAF=90°，于是得到∠EAB=∠FAD，即可證得△AEB≌△AFD；
（2）由△AEB≌△AFD，得到∠AFD=∠AEB，由于∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，于是得到結論；
（3）如圖，過點B作BF⊥AF，交AE延長線于點F．根據△AEP為等腰直角三角形，得到∠AEP=45°，由于∠DEB=90°，得到∠FEB=45°，于是得到△EF′B為等腰角三角形，于是得到FE的長，再由勾股定理得到BE的長，進而求出BF′的長，利用三角形面積公式即可求出△AEB的面積．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD；
（2）證明：∵△AEB≌△AFD；，
∴∠AFD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，
∴∠BEF=∠FAE=90°，∴BE⊥DE；
（3）如圖，過點B作BF′⊥AF′，交AE延長線于點F′．
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
又∵∠DEB=90°，
∴∠F′EB=45°，
∵∠EF′B=90°，
∴△EF′B為等腰直角三角形，
∵FB=$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴EF′=BF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴△AEB的面積=$\frac{1}{2}$AE•BF′=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質、等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質以及勾股定理是解題的首要條件；正確的作出輔助線是解題的關鍵．