Question

5．如圖，點A（a，b）在第一象限，AB⊥x軸于點B．C為邊0A的中點．在邊OB從小于AB到大于AB的變化過程中．若a+b的值始終保持不變，則在經過動點C的反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k的值的變化情況是（　　）

• A． 一直增大
• B． 一直不變
• C． 先增大后減小
• D． 先減小后增大

Answer 1

分析 由點A在第一象限即可得出a+b＞0、ab＞0，根據反比例函數圖象上點的坐標特征結合點C的坐標即可得出k=$\frac{ab}{4}$，再根據（a-b）²≥0即可得出ab≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$（當a=b時取等號），結合a+b為定值即可得出k的值先增大后減小，此題得解．

解答 解：∵點A（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，ab＞0．
∵點C為邊0A的中點，
∴點C的坐標為（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$）．
∵點C在反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上，
∴k=$\frac{a}{2}$×$\frac{b}{2}$=$\frac{ab}{4}$．
∵（a-b）²≥0，
∴（a+b）²-4ab≥0，
∴ab≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$（當a=b時取等號）．
∵a+b為定值，
∴當a=b時，ab最大，
∴k的值先增大后減小．
故選C．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及完全平方公式，利用完全平方公式找出ab≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$（當a=b時取等號）是解題的關鍵．