Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E是邊BC上的兩個點，且BD=DE=EC，過點C作CF∥AB交AE延長線于點F，連接FD并延長與AB交于點G；
（1）求證：AC=2CF；
（2）連接AD，如果∠ADG=∠B，求證：CD²=AC•CF．

Answer 1

分析 （1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB證△ABE∽△FCE得$\frac{AB}{FC}=\frac{BE}{CE}$=2，即AB=2FC，根據AB=AC即可得證；
（2）由∠1=∠B證△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，結合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，繼而知∠4=∠5，即可證△ACD∽△DCF得CD²=AC•CF．

解答 證明：（1）∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{FC}=\frac{BE}{CE}$=2，即AB=2FC，
又∵AB=AC，
∴AC=2CF；

（2）如圖，

∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，
∴△DAG∽△BAD，
∴∠AGD=∠ADB，
∴∠B+∠2=∠5+∠6，
又∵AB=AC，∠2=∠3，
∴∠B=∠5，
∴∠3=∠6，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠B，
∴∠4=∠5，
則△ACD∽△DCF，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AC}{DC}$，即CD²=AC•CF．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握三角形外角性質和平行線的性質得出三角形相似所需要的條件是解題的關鍵．