Question

9．問題發現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）填空：∠AEB的度數為60°；
拓展探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，點M為AB的中點，連接BE、CM、EM，求證：CM=EM．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACD=∠BCE，那么△ACD≌△BCE，根據全等三角形證出AD=BE；
（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，得到∠ADC=∠BEC通過等量代換得到∠DCB=∠EBC，由內錯角相等得到CD∥BE，根據平行線的性質即可得到結論；
（3）證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE為等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因為點A，D，E在同一直線上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，然后又直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

（2）由（1）證得△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB，
∴∠DCB=∠EBC，
∴CD∥BE，
∴∠AEB=∠CDE=60°．
故答案為：60°；

（3）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
∵∠AEB=∠ACB=90°，
∴CM=EM=$\frac{1}{2}$AB，
即CM=EM．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質和等腰三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．