Question

4．如圖，已知點A（6，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P，O兩點的二次函數y₁和過P，A兩點的二次函數y₂的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B，C，射線OB與射線AC相交于點D，當△ODA是等邊三角形時，這兩個二次函數的最大值之和等于（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接PB、PC，根據二次函數的對稱性可知OB=PB，PC=AC，從而判斷出△POB和△ACP是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求解即可．

解答 解：如圖，連接PB、PC，
由二次函數的性質，OB=PB，PC=AC，
∵△ODA是等邊三角形，
∴∠AOD=∠OAD=60°，
∴△POB和△ACP是等邊三角形，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴點B、C的縱坐標之和為6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
即兩個二次函數的最大值之和等于3$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了二次函數的最值問題，等邊三角形的判定與性質，作輔助線構造出等邊三角形并利用等邊三角形的知識求解是解題的關鍵．