Question

17．若[x]表示不超過x的最大整數（如[π]=3，[-2$\frac{2}{3}$]=-3等），則[$\frac{1}{2-\sqrt{1×2}}$]+[$\frac{1}{3-\sqrt{2×3}}$]+…[$\frac{1}{2015-\sqrt{2014×2015}}$]=2014．

Answer 1

分析 首先化簡$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$，可得$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$=1-$\sqrt{1-\frac{1}{n}}$，然后由取整函數的性質，可得：[$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$]=[1-$\sqrt{1-\frac{1}{n}}$]=1，則代入原式即可求得結果，注意n是從2開始到2015結束，共有2014個．

解答 解：∵$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$=$\frac{n+\sqrt{n（n-1）}}{n}$=1-$\sqrt{\frac{{n}^{2}-n}{{n}^{2}}}$=1-$\sqrt{1-\frac{1}{n}}$，
∴[$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$]=[1-$\sqrt{1-\frac{1}{n}}$]=1，
∴[$\frac{1}{2-\sqrt{1×2}}$]+[$\frac{1}{3-\sqrt{2×3}}$]+…[$\frac{1}{2015-\sqrt{2014×2015}}$]=1+1+…+1=2014．
故答案為：2014．

點評 此題主要考查了二次根式的化簡與取整函數的性質，注意求得$\frac{1}{n-\sqrt{n（n-1）}}$=1-$\sqrt{1-\frac{1}{n}}$是解此題的關鍵．