Question

2．等邊△ABC中，AO是BC邊上的高，D為AO上一點，以CD為一邊，在CD下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）過點C作CH⊥BE，交BE的延長線于H，若BC=8，求CH的長．

Answer 1

分析 （1）先根據等邊三角形的性質得出∠ACB=60°，∠DCE=60°，故可得出∠ACD=∠BCE，再由SAS定理即可得出結論；
（2）先由等邊三角形三線合一的性質得出∠CAD的度數，再由△ACD≌△BCE得出∠CAD=∠CBE，再根據直角三角形的性質即可得出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，AO是BC邊上的高，
∴∠BAC=60°，且AO平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=30°．
又∵CH⊥BE，BC=8，
∴在Rt△BCH中，CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，即CH=4．

點評 本題考查的是全等三角形的判定與性質，熟知等邊三角形三線合一的性質、直角三角形的性質等知識是解答此題的關鍵．